参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
如果事件
、
互斥，那么
．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式，
，
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、
是虚数单位，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2、函数
的定义域为实数集
，“
是奇函数”是“
是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
3、
是等差数列，
与
的等差中项为1，
与
的等差中项为2，则公差
（ ）
A．
B．
C．
D．
4、函数
在区间
上单调递增，常数
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5、双曲线
：
的两条渐近线夹角（锐角）为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6、一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1
的等腰直角三角形，则它的体积
（ ）
A．
B．
C．
D．
7、
的二项展开式17个项中，整式的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、设
，集合
，
，记“从集合
中任取一个元素
，
”为事件
，“从集合
中任取一个元素
，
”为事件
．给定下列三个命题：
①当
，
时，
；
②若
，则
，
；
③
恒成立．
其中，为真命题的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题（9～13题）
9．不等式
的解集为 ．
10．已知抛物线
：
的焦点为
，
是
上一点，若
在第一象限，
，
则点
的坐标为 ．
11．若变量
、
满足约束条件
，则
的最大值
．
12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果
．
13．已知
与
之间的几组数据如下表：
|
|
3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
假设根据上表数据所得线性回归方程为
，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为
，则
，
．（填“
”或“
”）
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
上到直线
的距离为1的点的个数是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆
的弦
、
相交于点
，若
，
，则
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知
顶点的直角坐标分别是
、
、
．
⑴求
的值；
⑵若
，证明：
、
、
三点共线．
17．（本小题满分13分）
某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：
），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：
| 组距 | 频数 | 频率 |
| [100，102) | 17 | 0.17 |
| [102，104) | 18 | 0.18 |
| [104，106) | 24 | 0.24 |
| [106，108) |
|
|
| [108，110) | 6 | 0.06 |
| [110，112) | 3 | 0.03 |
| 合计 | 100 | 1 |
⑴求上表中
、
的值；
⑵估计该基地榕树树苗平均高度；
⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有
株，求
的分布列和期望．
18．（本小题满分14分）
设数列
的前
项和
，
．
⑴求
的值；
⑵求数列
的通项公式；
⑶证明：对一切正整数
，有
．
19．（本小题满分13分）
如图4，直四棱柱
的底面是菱形，侧面是正方形，
，
是棱
的延长线上一点，经过点
、
、
的平面交棱
于点
，
．
⑴求证：平面
平面
；
⑵求二面角
的平面角的余弦值．
20．（本小题满分14分）
平面直角坐标系
中，椭圆
：
（
）的离心率为
，焦点为
、
，
直线
：
经过焦点
，并与
相交于
、
两点．
⑴求
的方程；
⑵在
上是否存在
、
两点，满足
，
？若存在，求直线
的方程；
若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）
设函数
，
是自然对数的底数，
，
为常数．
⑴若
在
处的切线
的斜率为
，求
的值；
⑵在⑴的条件下，证明切线
与曲线
在区间
至少有1个公共点；
⑶若
是
的一个单调区间，求
的取值范围．
评分参考答案
一、选择题 BACD DCBB
二、填空题 ⒐
或
（每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）
⒑
（若写成
或
给3分，其他不给分）
⒒
⒓
⒔
，
（若两空一对一错，给3分） ⒕
⒖
三、解答题
⒗⑴（方法一）
，
，
……3分
……6分（公式2分）
（方法二）
，
……2分
……6分（公式2分）
⑵（方法一）
，
……9分
∵
，∴
、
共线……11分
∵
、
有共同的始点，∴
、
、
三点共线……12分
（方法二）经过
、
两点的直线
的方程为
（即
）……9分
设
，由
得
……10分
解得
……11分
∵
（或
），∴(
在
上)
、
、
三点共线……12分
⒘⑴
，
……2分
⑵估计该基地榕树树苗平均高度为
(
)……6分
（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）
⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此
的所有可能取值为0，1，2，3……7分
，
，
，
……11分
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
的分布列为
……12分
的期望为
……13分（列式正确1分）
⒙⑴
……1分
⑵
时，
……4分（上式每个等号1分）
时，
，所以
，
……5分
⑶由⑵知，
时，
……7分
……9分
……11分
……12分，
……13分
∵
单调递增，∴
，
……14分
⒚⑴设四棱柱
的棱长为
∵
，
∽
，∴
……1分
由
，
，得
，
……2分
∵
，∴
，
……3分
是直四棱柱，
，又
，∴
，∵
，∴
平面
……4分
∵
平面
，∴平面
平面
……5分
⑵（方法一）过
作
于
，
于
，连接
……6分
由平面
平面
，平面
平面
，
平面
……7分
∴
，又
，
，∴
平面
，
，
是二面角
的平面角……9分
在
中，
，
，
，
，在
中，
，
，
，
（
、
求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分
，
……13分
（方法二）以
为原点，
、
所在直线为
轴、
轴，平行于
的直线
为
轴建立空间直角坐标系……6分，则
，
，
……7分
设平面
的一个法向量为
，则
……9分，即
，不妨取
……10分，由⑴知
，
……11分，平面
的一个法向量为
……12分，二面角
的平面角的余弦值
……13分
⒛⑴依题意
，
……2分，由
得
……3分
，椭圆
的方程为
……4分
⑵（方法一）若存在满足条件的直线
，∵
，∴
，设直线
的方程为
……5分
由
……6分，得
……7分
，
（*）
……8分
设
，
，则
，
……9分
由已知
，若线段
的中点为
，则
，
……10分
，
即
……11分
由
……12分，解得
……13分
时，
，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线
……14分
（方法二）假设存在
，
，线段
的中点为
，则
，
……5分
由
两式相减得：
……7分，代入、化简得：
①……8分
由已知
，则
，
……9分
由
得，
②……10分
由①②解得
，即
……11分
直线CD的方程为：
……12分
联立
得
……13分
∵
，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线
……14分
21．⑴
……1分
依题意，
，解得
……2分
⑵由⑴
，直线
的方程为
，即
……3分
作
，
则
……4分，
……5分（用其他适当的数替代
亦可）
因为
在
上是连续不断的曲线，
，
在
内有零点，
，从而切线
与曲线
在区间
至少有1个公共点……6分
⑶
，
是
的一个单调区间当且仅当
在
上恒大于等于零，或恒小于等于零，由
，作
，由
得
……7分
|
|
|
|
|
－ | 0 | + |
|
↘ | 最小值 | ↗ |
……9分
在
上的最小值为
，所以，当且仅当
时，
在
上单调递增……11分
下面比较
与
的大小
（方法一）由
，
，
以及
在
上单调递减得
……12分
……13分
，
∴
，当且仅当
时，
在
上单调递减，综上所述，
的取值范围为
……14分
（方法二）由
，
，以及
的单调性知，
……12分
由
知，
单调递减……13分
由
得
，
，
，∴
，当且仅当
时，
在
上单调递减，综上所述，
的取值范围为
……14分
（“单调递增……11分”以下，若直接写
，再给1分）
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