一、选择题
(1) 的值为
(A) (B) (C) (D)
(2)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 ,则集合 中的元素共有
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个
(3)不等式 的解集为
(A) (B)
(C) (D)
(4)已知tan =4,cot = ,则tan(a+ )=
(A) (B) (C) (D)
(5)设双曲线 的渐近线与抛物线 相切,则该双曲线的离心率等于
(A) (B)2 (C) (D)
(6)已知函数 的反函数为 ,则
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
(7)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
(A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种
(8)设非零向量 、 、 满足 ,则
(A)150° (B)120° (C)60° (D)30°
(9)已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等, 在底面 上的射影为 的中点,则异面直线 与 所成的角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)
(10)如果函数 的图像关于点 中心对称,那么 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
(11)已知二面角 为600,动点p、Q分别在面 内,p到 的距离为 ,Q到 的距离为 ,则p、Q两点之间距离的最小值为
(A) (B)2 (C) (D)3
(12)已知椭圆 的右焦点为F,右准线 ,点 ,线段AF交C于点B。若 ,则 =
(A) (B)2 (C) (D)3
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
(注意:在试题卷上作答无效)
(13) 的展开式中, 的系数与 的系数之和等于_____________.
(14)设等差数列 的前 项和为 。若 ,则 _______________.
(15)已知 为球 的半径,过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ,若圆 的面积为 ,则球 的表面积等于__________________.
(16)若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ,则 的倾斜角可以是
① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号)
三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分10分)
设等差数列{ }的前 项和为 ,公比是正数的等比数列{ }的前 项和为 ,已知 的通项公式.
(18)(本小题满分12分)
在 中,内角 的对边长分别为 .已知 ,且 ,求 .
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 底面 , , ,点 在侧棱 上,
(Ⅰ)证明: 是侧棱 的中点;
(Ⅱ)求二面角 的大小。(同理18)
(20)(本小题满分12分)
甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立。已知前2局中,甲、乙各胜1局。
(Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率;
(Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。
(21)(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)讨论 的单调性;
(Ⅱ)设点p在曲线 上,若该曲线在点p处的切线 通过坐标原点,求 的方程
(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,已知抛物线 与圆 相交于A、B、C、D四个点。
(Ⅰ)求 的取值范围
(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点p的坐标。
【答案】
一、选择题
1、【解析】解: ,故选择A。
2、解: , 故选A。也可用摩根定律:
3、解: ,故选择D。
4、解:由题 , ,故选择B。
5、解:由题双曲线 的一条渐近线方程为 ,代入抛物线方程整理得 ,因渐近线与抛物线相切,所以 ,即 ,故选择C。
6、解:由题令 得 ,即 ,又 ,所以 ,故选择C。
7、由题共有 ,故选择D。
8、解:由向量加法的平行四边形法则,知 、 可构成菱形的两条相邻边,且 、 为起点处的对角线长等于菱形的边长,故选择B。
9、解:设 的中点为D,连结 D,AD,易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理,易知 .故选D
10、解: 函数 的图像关于点 中心对称
由此易得 .故选A
11、解:如图分别作
,连
,
又
当且仅当 ,即 重合时取最小值。故答案选C。
12、解:过点B作 于M,并设右准线 与x轴的交点为N,易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A
二、填空题:
13、因 所以有
14、 是等差数列,由 ,得
。
15、设球半径为 ,圆M的半径为 ,则 ,即 由题得 ,所以 。
16解:两平行线间的距离为 ,由图知直线 与 的夹角为 , 的倾斜角为 ,所以直线 的倾斜角等于 或 。故填写①或⑤
三.解答题:
17、解:设 的公差为 ,数列 的公比为 ,
由 得 ① 得 ②
由①②及 解得 故所求的通项公式为 。
18、解:由余弦定理得 ,
又 , , 即 ①
由正弦定理得 又由已知得
, 所以 ② 故由①②解得
19、解法一:
(I)作 ∥ 交 于点E,则 ∥ , 平面SAD
连接AE,则四边形ABME为直角梯形
作 ,垂足为F,则AFME为矩形
设 ,则 ,
由
解得 即 ,从而
所以 为侧棱 的中点
(Ⅱ) ,又 ,所以 为等边三角形,
又由(Ⅰ)知M为SC中点
,故
取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则 ,由此知 为二面角 的平面角
连接 ,在 中,
所以 二面角 的大小为
解法二:
以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设 ,则
(Ⅰ)设 ,则
又
故
即
解得 ,即 所以M为侧棱SC的中点
(II) 由 ,得AM的中点
又
所以
因此 等于二面角 的平面角
所以二面角 的大小为
20、解:记“第 局甲获胜”为事件 ,“第 局乙获胜”为事件 。
(Ⅰ)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A,则 ,
由于各局比赛结果相互独立,故
(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B,因前两局中,甲、乙各胜1局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而
,由于各局比赛结果相互独立,故
21、解:(Ⅰ)
令 得 或 ; 令 得 或
因此, 在区间 和 为增函数;在区间 和 为减函数。
(Ⅱ)设点 ,由 过原点知, 的方程为 ,
因此 , 即 ,
整理得 , 解得 或
因此切线 的方程为 或
22、解:(Ⅰ)将抛物线 代入圆 的方程,消去 ,
整理得 ①
与 有四个交点的充要条件是:方程①有两个不相等的正根
由此得
解得 又 所以 的取值范围是
(II) 设四个交点的坐标分别为 、 、 、 。
则由(I)根据韦达定理有 ,
则
令 ,则 下面求 的最大值。
方法1:由三次均值有:
当且仅当 ,即 时取最大值。经检验此时 满足题意。
方法2:设四个交点的坐标分别为 、 、 、
则直线AC、BD的方程分别为
解得点p的坐标为 。
设 ,由 及(Ⅰ)得
由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积
则
将 , 代入上式,并令 ,得
,
∴ ,
令 得 ,或 (舍去)
当 时, ;当 时 ;当 时,
故当且仅当 时, 有最大值,即四边形ABCD的面积最大,故所求的点p的坐标为
第1页(高考真题)
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